Фрактальная размерность на рынке.

Фрактальная размерность.

Время и пространство не отделимы друг от друга, и поскольку время имеет фрактальную природу, то и пространство описывается не только целыми, но и дробными измерениями. Все мы привыкли думать, что объекты в пространстве имеют четыре измерения – длину, ширину, высоту и продолжительность существования, то есть время. Но что произойдет с нашим восприятием, если мы внесем разнообразие путем дробления измерений на под-измерения? Приведем простой пример с прямой линией, имеющей одно измерение – то есть длину. Кажется, здесь все просто до тех пор, пока мы не начнем изгибать нашу прямую, придавая ей змеевидную форму. Теперь она лежит на плоскости и претендует на то что бы занимать двухмерное пространство, то есть иметь длину и высоту. Однако линия не может заполнить все двухмерное пространство, таким образом, следует ввести дробь, то есть число, характеризующее степень заполнения двухмерного пространства, или, по-другому, – степень извилистости кривой. Получается дробная размерность, названная Бенуа Мендельбротом фрактальной, т.е. фрактальная размерность это такая размерность, которая способна принимать дробные значения.

Отличительной чертой фрактальной размерности является самоповторение в масштабе. Это можно проиллюстрировать на простом линейном фрактале – Множестве Коха (снежинке Коха). Берется прямой отрезок с размерностью 1, делится на три части. Средняя часть заменяется на два отрезка, равные этой части и строится ломаная из четырех отрезков, как показано на рисунке. На втором шаге действие повторяется с каждым из четырех отрезков. Эти итерации можно проводить бесконечное число раз, после чего мы получим структуру, изображенную на самом верху.

Рис 14. Кривая Коха.

Увеличивая фрагмент снежинки Коха до бесконечности, мы будем получать точно такую же структуру с идентичной размерностью!

Какую же размерность имеет снежинка Коха? Для определения размерности следует использовать простую формулу D = ln(n)/ln(N) где N – количество частей, на которые поделен исходный отрезок – т.е. 3, а n – количество получаемых в итоге отрезков, т.е. 4. Подставив данные в формулу, получаем D = ln(4)/ln(3) = 1.2618

Т.е. получается, что это уже не просто отрезок или ломаная (т.к. длина снежинки Коха бесконечна), но еще не двухмерная плоскость. Значит, кривая Коха имеет фрактальную (дробную) размерность.

Применяя термин фрактальной размерности к валютным и другим котировкам, можно сделать некоторые интересные выводы, которые будут полезны при дальнейшем изучении рынка. Поскольку котировки не движутся по прямой линии и не способны заполнить двумерное пространство, их размерность всегда 1<D<2.

Рис 15. Представление размерности на графике котировок.

Однако этот диапазон может существенно варьироваться в зависимости от валютной пары и временного интервала. Фактически, фрактальная  размерность отвечает за волатильность цены. На рисунке 15 изображено 3 графика различных валютных пар, имеющие одинаковую структуру движения (об этом мы поговорим позже), но различную волатильность. Хорошо видно, как существенно влияет на наше восприятие цены изменение фрактальной размерности. Можно утверждать, что на самом верхнем графике фрактальная размерность больше, график более «плотно» заполняет двумерное пространство. Напротив, третья диаграмма имеет самую низкую волатильность, и как следствие, более низкую размерность.

Предоставлено ООО "FAM-Group"  Фрактальный анализ рынка.